درسنامه آموزشی دانش فنی پایه کلاس دهم الکتروتکنیک

واحد یادگیری 1: تحلیل اتصال سری مقاومت‌های الکتریکی

اتصال بین مقاومت‌هایی که در مدار الکتریکی قرار می‌گیرند به سه شکل امکان‌پذیر است:

- اتصال سری
- اتصال موازی
- اتصال سری - موازی
که در ادامه به هر یک از آنها پرداخته می‌شود.

اتصال سری

اتصال سری مقاومت‌های الکتریکی بین دو یا چند مقاومت به شرطی ایجاد می‌شود که جریان عبوری هر یک از مقاومت‌ها با هم یکسان باشد. در اتصال سری یک سر مقاومت‌های الکتریکی به یکدیگر اتصال می‌یابد (شکل 1).

هنگامی‌که دو یا چند مقاومت با یکدیگر اتصال سری پیدا می‌کنند و توسط سیم رابط به یک منبع تغذیه متصل شوند تشکیل مدار الکتریکی می‌دهند که اصطلاحاً آن را «مدار سری» گویند.

جریان عبوری از مقاومت‌هایی که با یکدیگر اتصال سری دارند یکسان است و این یک شرط اساسی در مدارهای سری می‌باشد. در شکل n ،2 تا مقاومت که با یکدیگر اتصال سری دارند و تشکیل یک مدار سری داده‌اند نشان داده شده است.

همان‌طور که از شکل برمی‌آید می‌توان نوشت:

${I_1} = {I_2} = {I_3} = ... = {I_n}$

با عبور جریان از مقاومت‌های شکل 3، در دو سر هر یک از مقاومت‌ها ولتاژ ایجاد می‌شود.

به ولتاژ دو سر هر مقاومت اصطلاحاً «افت ولتاژ» گویند و با استفاده از رابطه مقاومت الکتریکی به‌دست می‌آیند.

جریان × مقاومت = ولتاژ

${V_1} = {R_1}{I_1}$
${V_2} = {R_2}{I_2}$
$ \vdots $
${V_n} = {R_n}{I_n}$

با توجه به شرط اساسی مدارهای سری، جریان مقاومت‌های با اتصال سری با هم یکسان‌اند لذا می‌توان نوشت:

$I = {I_1} = {I_2} = {I_3} = ... = {I_n}$

و روابط افت ولتاژ دو سر هر مقاومت را با جایگزینی $I$ به‌صورت زیر می‌توان نوشت:

${V_1} = {R_1}I$
${V_2} = {R_2}I$
$ \vdots $
${V_n} = {R_n}I$

مسیر عبور جریان از مقاومت‌های سری و منبع شکل 4 با حلقه جریان I نشان داده شده است. در مدارهای الکتریکی با حرکت در حلقه به جای اول خواهیم رسید لذا این حلقه را «مسیر بسته» گویند.

مثال: افت ولتاژ دو سر هر یک از مقاومت‌های مدار شکل زیر را به‌دست آورید.

حل: مقاومت‌های ${R_1}$ و ${R_2}$ و ${R_3}$ با یکدیگر اتصال سری دارند لذا جریان آنها با هم برابر است یعنی: 

$I = {I_1} = {I_2} = {I_3} = 2\left[ A \right]$

با استفاده از قانون اهم افت ولتاژها محاسبه می‌شود.

جریان × مقاومت  = ولتاژ

${V_1} = {R_1}I = 10 \times 2 = 20\left[ V \right]$
${V_2} = {R_2}I = 40 \times 2 = 80\left[ V \right]$
${V_3} = {R_3}I = 30 \times 2 = 60\left[ V \right]$

قانون ولتاژ کیرشهف KVL

قانون ولتاژ کیرشهف KVL بیان می‌کند «حاصل جمع جبری ولتاژها در هر مسیر بسته صفر است».

برای نوشتن رابطه قانون ولتاژ کیرشهف یا KVL به‌صورت زیر عمل می‌شود:

1- برای مسیر بسته یک حلقه جریان I در جهت حرکت عقربه ساعت اختیار می‌شود.
2- افت ولتاژهای دو سر هر مقاومت با علامت (+) لحاظ می‌شود.
3- اگر جریان حلقه I به پلاریته (+) منبع وارد شود ولتاژ منبع V با علامت مثبت نوشته می‌شود و اگر جریان حلقه I به پلاریته (-) منبع وارد شود ولتاژ منبع V را با علامت منفی می‌نویسند.

اکنون در مدار شکل 6 قانون ولتاژ کیرشهف اعمال می‌شود.

جریان حلقه $I$ در جهت حرکت عقربه ساعت برای آن ترسیم می‌شود (شکل 7).

جریان حلقه $I$ به پلاریته منفی منبع ولتاژ وارد می‌شود لذا علامت (-) برای $V$ لحاظ شده است. و افت ولتاژهای دو سر مقاومت $RI$ با علامت + لحاظ می‌شود و حاصل طبق قانون ولتاژ کیرشهف $KVL$ برابر صفر است.

$KVL) - V + {R_1}I + {R_2}I + {R_3}I = 0$

مثال: قانون ولتاژ کیرشهف را برای مدار شکل زیر بنویسید و به کمک آن جریان مدار را به‌‌دست آورید.

حل: جریان حلقه $I$ در جهت حرکت عقربه ساعت ترسیم می‌شود.

اکنون قانون ولتاژ کیرشهف نوشته می‌شود.

$KVL) - V + {R_1}I + {R_2}I + {R_3}I = 0$
$ - 12 + 3I + 2I + 1I = 0$
$ - 12 + 6I = 0$
$6I = 12$
$I = \frac{{12}}{6} =  + 2\left[ A \right]$

جریان حلقه $I$ برابر 2 آمپر می‌باشد. علامت (+) بیانگر این است که جهت جریان حلقه $I$ موافق جهت جریان مسیر بسته می‌باشد.

مثال: قانون ولتاژ کیرشهف را برای مدار شکل زیر بنویسید و به کمک آن جریان مدار را به‌دست آورید.

حل: جریان حلقه $I$ در جهت حرکت عقربه ساعت ترسیم می‌شود.

اکنون قانون کیرشهف نوشته می‌شود.

$KVL) + V + {R_1}I + {R_2}I = 0$
$ + 6 + 4I + 8I = 0$
$ + 6 + 12I = 0$
$12I =  - 6$
$I = \frac{{ - 6}}{{12}} =  - 0/5\left[ A \right]$

جریان حلقه $I$ برابر 0/5 آمپر می‌باشد. علامت (-) بیانگر این است که جهت جریان حلقه $I$ خلاف جهت جریان مسیر بسته می‌باشد.

مقاومت معادل

مقاومت معادل عبارت است از مقاومتی که جای دو یا چند مقاومت در مدار قرار می‌گیرد به‌طوری‌که در جریان و ولتاژ مدار تغییر ایجاد نمی‌شود، مقاومت معادل را با ${R_{eq}}$ نشان می‌دهند. برای به‌دست آوردن مقاومت معادل در مدارهای سری از KVL استفاده می‌شود. برای این منظور n تا مقاومت سری مدار شکل زیر در نظر گرفته می‌شود (شکل 12).

برای مدار $KCL$ نوشته می‌شود.

$KVL) - V + {R_1}I + {R_2}I + {R_3}I + ... + {R_n}I = 0$
$V = {R_1}I + {R_2}I + {R_3}I + ... + {R_n}I$

از $I$ فاکتور گرفته می‌شود:

$V = I({R_1} + {R_2} + {R_3} + ... + {R_n})$

طرفین رابطه بر $I$ تقسیم می‌شود.

$\frac{V}{I} = {R_1} + {R_2} + {R_3} + ... + {R_n}$

نسبت $\frac{V}{I}$ همان ${R_{eq}}$ است:

${R_{eq}} = {R_1} + {R_2} + {R_3} + ... + {R_n}

از این رابطه برای محاسبه مقاومت معادل بین n تا مقاومت با اتصال سری استفاده می‌شود.

مثال: مقاومت معادل مدار شکل 13 را به‌دست آورید.

${R_{eq}} = {R_1} + {R_2} + {R_3}$
${R_{eq}} = 5 + 10 + 15 = 30\left[ \Omega  \right]$

مقاومت معادل Req جایگزین مقاومت‌های ${R_1}$ و ${R_2}$ و ${R_3}$ خواهد شد به‌طوری‌که در شدت جریان و ولتاژ مدار تغییری ایجاد نمی‌شود (شکل 14).

مثال: در مدار شکل 15 مطلوب است:

الف) مقاومت معادل:

${R_{eq}} = {R_1} + {R_2} + {R_3}$
${R_{eq}} = 8 + 6 + 10 = 24\left[ \Omega  \right]$

ب) شدت جریان مدار:

مقاومت معادل Req در شکل 16 جایگزین مقاومت‌های ${R_1}$ و ${R_2}$ و ${R_3}$ شده است اکنون به کمک رابطه مقاومت الکتریکی جریان مدار محاسبه می‌‌شود.

نسبت ولتاژ بر مقاومت =  جریان

$I = \frac{V}{{{R_{eq}}}} = \frac{{12}}{{24}} = 0/5\left[ A \right]$

مثال: در یک مدار الکتریکی 8 تا مقاومت الکتریکی $3\Omega $ با یکدیگر سری شده‌اند. اگر جریان الکتریکی مدار $2/5A$ باشد، ولتاژ منبع تغذیه چند ولت است؟

${R_{eq}} = n.R$
${R_{eq}} = 8 \times 3 = 24\left[ \Omega  \right]$
$V = I.{R_{eq}} = 2/5 \times 24 = 60\left[ V \right]$

تقسیم ولتاژ بین دو مقاومت سری

افت ولتاژ دو سر مقاومت‌ها بخشی از ولتاژ منبع مدار است. افت ولتاژ دو سر مقاومت را می‌شود بدون استفاده از جریان با رابطه تقسیم ولتاژ محاسبه کرد. رابطه تقسیم ولتاژ بین دو مقاومت سری به‌صورت زیر است (شکل 17).

${V_1} = V\frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}$
${V_2} = V\frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$

مثال: در مدار شکل زیر با استفاده از رابطه تقسیم ولتاژ مقدار ${V_1}$ و ${V_2}$ را به‌دست آورید (شکل 18).

${V_1} = V\frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}} = 12 \times \frac{3}{{3 + 6}} = \frac{{36}}{9} = 4\left[ V \right]$
${V_2} = V\frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} = 12 \times \frac{6}{{3 + 6}} = \frac{{72}}{9} = 8\left[ V \right]$

توان الکتریکی

توان الکتریکی در مدار سری از حاصل جمع توان همه مقاومت‌های مدار به‌دست می‌آید. در مدار الکتریکی شکل 19 که شامل n تا مقاومت سری است داریم:

$P = R{I^2}$

توان مدار الکتریکی شکل 19 از مجموع توان هر مقاومت به‌دست می‌آید و آن را با ${P_{eq}}$ نشان می‌دهند.

${P_{eq}} = {R_1}{I^2} + {R_2}{I^2} + ... + {R_n}{I^2}$

از ${I^2}$ فاکتور گرفته می‌شود. 

${P_{eq}} = ({R_1} + {R_2} + ... + {R_n}){I^2}$

حاصل پرانتز همان مقاومت معادل مدار سری است لذا: 

${P_{eq}} = {R_{eq}}{I^2}$

این رابطه نشان می‌دهد توان مدار سری با توان مقاومت معادل سری نیز برابر است یعنی:

${P_{eq}} = ({R_1} + {R_2} + ... + {R_n}){I^2} = {R_{eq}}{I^2}$

مثال: توان مدار الکتریکی شکل 20 را به‌دست آورید.

حل: توان مدار از مجموع توان مقاومت‌های ${R_1}$ و ${R_2}$ و ${R_3}$ به‌دست می‌آید.

${P_{eq}} = {R_1}{I^2} + {R_2}{I^2} + {R_3}{I^2}$
${P_{eq}} = 3{\left( 2 \right)^2} + 6{\left( 2 \right)^2} + 9{\left( 2 \right)^2}$
${P_{eq}} = 12 + 24 + 36 = 72\left[ W \right]$

مثال: توان مدار الکتریکی شکل 21 را به‌دست آورید.

حل: مقاومت معادل مدار به‌دست می‌آید.

${R_{eq}} = {R_1} + {R_2} = 20 + 4 = 24\Omega $

از رابطه مقاومت الکتریکی جریان مدار به‌دست می‌آید (شکل 22).

نسبت ولتاژ بر مقاومت = جریان 

$I = \frac{V}{{{R_{eq}}}} = \frac{{12}}{{24}} = 0/5\left[ A \right]$

توان مقاومت معادل ${R_{eq}}$ برابر مجموع توان ${R_1}$ و ${R_2}$ است لذا: 

${P_{eq}} = {R_1}{I^2} + {R_2}{I^2} = {R_{eq}}{I^2}$
${P_{eq}} = 24 \times {0/5^2} = 6\left[ W \right]$

واحد یادگیری 2: تحلیل اتصال موازی مقاومت‌های الکتریکی

اتصال موازی مقاومت‌های الکتریکی بین دو یا چند مقاومت به شرطی ایجاد می‌شود که ولتاژ دو سر هر یک از مقاومت‌ها با هم برابر باشند. در اتصال موازی دو سر مقاومت‌های الکتریکی به یکدیگر اتصال می‌یابد (شکل 23).

مسیر عبور جریان از هر مقاومت موازی و منبع را (شاخه) گویند و نقطه‌ای از مدار را که بیش از دو شاخه به آن متصل باشد، «گره» گویند (شکل 24).

هنگامی‌که دو یا چند مقاومت با یکدیگر اتصال موازی پیدا می‌کنند و توسط سیم رابط به یک منبع تغذیه متصل شوند تشکیل یک مدار الکتریکی می‌دهند که اصطلاحاً آن را «مدار موازی» گویند.

ولتاژ دو سر مقاومت‌هایی که با یکدیگر اتصال موازی دارند برابر است و این یک شرط اساسی در مدارهای موازی می‌باشد. در شکل n ،25 تا مقاومت که با یکدیگر اتصال موازی دارند و تشکیل یک مدار موازی داده‌اند نشان داده شده است.

همان‌طور که از شکل برمی‌آید می‌توان نوشت:

${V_1} = {V_2} = {V_3} = ... = {V_n}$

ولتاژ دو سر هر یک از مقاومت‌های شکل 26 در هر یک از آنها جریان جاری می‌کند.

جریان هر یک از مقاومت‌ها با استفاده از رابطه مقاومت الکتریکی به‌دست می‌آیند.

نسبت ولتاژ بر مقاومت = جریان

${I_1} = \frac{{{V_1}}}{{{R_1}}}$
${I_2} = \frac{{{V_2}}}{{{R_2}}}$
${I_3} = \frac{{{V_3}}}{{{R_3}}}$
$ \vdots $
${I_n} = \frac{{{V_n}}}{{{R_n}}}$

با توجه به شرط اساسی مدارهای موازی ولتاژ مقاومت‌های با اتصال موازی با هم برابرند لذا می‌توان نوشت: 

$V = {V_1} = {V_2} = {V_3} = ... = {V_n}$

و روابط جریان هر مقاومت را با جایگزینی $V$ به‌صورت زیر می‌توان نوشت:

${I_1} = \frac{V}{{{R_1}}}$
${I_2} = \frac{V}{{{R_2}}}$
$ \vdots $
${I_n} = \frac{V}{{{R_n}}}$

مثال: جریان شاخه‌های هر یک از مقاومت‌های مدار شکل 27 را به‌دست آورید. 

حل: مقاومت‌های ${R_1}$ و ${R_2}$ و ${R_3}$ با یکدیگر اتصال موازی دارند لذا ولتاژ آنها با هم برابر است، یعنی:

$V = {V_1} = {V_2} = {V_3} = 12\left[ V \right]$

با استفاده از قانون اهم جریان هر یک از شاخه‌های مقاومت‌ها محاسبه می‌شود:

نسبت ولتاژ بر مقاومت = جریان

${I_1} = \frac{V}{{{R_1}}} = \frac{{12}}{3} = 4\left[ A \right]$
${I_2} = \frac{V}{{{R_2}}} = \frac{{12}}{4} = 3\left[ A \right]$
${I_3} = \frac{V}{{{R_3}}} = \frac{{12}}{6} = 2\left[ A \right]$

قانون جریان کیرشهف KCL

قانون جریان کیرشهف $KCL$ بیان می‌کند «حاصل جمع جبری جریان‌هایی که به یک گره می‌رسد صفر است» و با رابطه زیر بیان می‌شود:

$KCL){I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_n} = 0$

برای نوشتن رابطه ریاضی قانون جریان کیرشهف یا $KCL$ به‌صورت زیر عمل می‌شود:

1- گره‌های مدار مشخص و نام‌گذاری شود (شکل 28).

2- یکی از گره‌ها زمین شود و برای شاخه‌های متصل به گره‌های دیگر جهت جریان مشخص می‌شود. در اینجا گره 2 زمین شده است (شکل 29).

3- برای نوشتن $KCL$ برای گره 1 جریان‌هایی که به گره وارد می‌شوند با علامت (+) و جریان‌هایی که از گره خارج می‌شوند با علامت (-) اختیار می‌شود و سپس رابطه قانون جریان کیرشهف نوشته می‌شود.

$KCL) + {I_1} - {I_2} - {I_3} - {I_4} = 0$

مثال: قانون جریان کیرشهف را برای مدار شکل زیر بنویسید و به کمک آن جریان منبع را به‌دست آورید (شکل 30).

حل: جهت جریان شاخه‌ها در شکل مشخص شده است لذا رابطه ریاضی قانون جریان کیرشهف نوشته می‌شود.

$KCL) + I - {I_1} - {I_2} - {I_3} = 0$
$KCL) + I - 4 - 3 - 2 = 0$
$I = 9\left[ A \right]$

مقاومت معادل

مقاومت معادل عبارت است از مقاومتی که جای دو یا چند مقاومت در مدار قرار می‌گیرد به‌طوری‌که در جریان و ولتاژ مدار تغییر ایجاد نمی‌شود. مقاومت معادل را با ${R_{eq}}$ نشان می‌دهند. برای به‌دست آوردن مقاومت معادل در مدارهای موازی از $KCL$ استفاده می‌شود. برای این منظور n تا مقاومت موازی مدار شکل 31 در نظر گرفته می‌شود.

برای مدار شکل 31، $KCL$ نوشته می‌شود.

$KCL) + I - {I_1} - {I_2} - {I_3} - ... - {I_n} = 0$
$I = {I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_n}$

از رابطه مقاومت الکتریکی مقادیر ${I_1}$ تا ${I_n}$ محاسبه می‌شود.

${I_1} = \frac{V}{{{R_1}}},{I_2} = \frac{V}{{{R_2}}},{I_3} = \frac{V}{{{R_3}}},...{I_n} = \frac{V}{{{R_n}}}$

مقادیر ${I_1}$ تا ${I_n}$ را در رابطه $KCL$ قرار می‌دهند.

$I = \frac{V}{{{R_1}}} + \frac{V}{{{R_2}}} + \frac{V}{{{R_3}}} + ... + {I_n} = \frac{V}{{{R_n}}}$

از $V$ فاکتور گرفته می‌شود.

$I = V\left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} + ... + \frac{1}{{{R_n}}}} \right)$

طرفین به $V$ تقسیم می‌شود. 

$\frac{I}{V} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} + ... + \frac{1}{{{R_n}}}$

نسبت $\frac{I}{V}$ همان $\frac{1}{{{R_{eq}}}}$ است.

$\frac{1}{{{R_{eq}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} + ... + \frac{1}{{{R_n}}}$
$\frac{1}{{{R_{eq}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} + ... + \frac{1}{{{R_n}}}}}$

از این رابطه برای محاسبه مقاومت معادل بین n تا مقاومت با اتصال موازی استفاده می‌شود.

مثال: مقاومت معادل مدار شکل زیر را به‌دست آورید (شکل 32).

$\frac{1}{{{R_{eq}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}}}}$
$\frac{1}{{{R_{eq}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = 1\left[ \Omega  \right]$

مثال: در مدار شکل 33 مطلوب است:

الف) مقاومت معادل

$\frac{1}{{{R_{eq}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{6} + \frac{1}{{12}}}} = 4\left[ \Omega  \right]$

ب) شدت جریان مدار

مقاومت معادل Req جایگزین ${{R_1}}$ و ${{R_2}}$ می‌شود شکل 34 و با استفاده از رابطه مقاومت الکتریکی جریان مدار محاسبه خواهد شد.

نسبت ولتاژ بر مقاومت = جریان

$I = \frac{V}{{{R_{eq}}}} = \frac{{24}}{4} = 6\left[ A \right]$

مثال: در یک مدار الکتریکی 12 تا مقاومت الکتریکی با مقدار مساوی $24\Omega $ با یکدیگر موازی شده‌اند اگر جریان مدار $2/5A$ باشد ولتاژ منبع تغذیه چند ولت است؟

حل:

${R_{eq}} = \frac{R}{n} = \frac{{24}}{{12}} = 2\left[ \Omega  \right]$
$V = I.{R_{eq}} = 2/5 \times 2 = 5v$

تقسیم جریان بین دو مقاومت موازی

جریان مقاومت‌های هر شاخه بخشی از جریان منبع مدار است. جریان مقاومت هر شاخه را می‌شود بدون استفاده از ولتاژ با رابطه تقسیم جریان محاسبه کرد.

رابطه تقسیم جریان بین دو مقاومت موازی در شکل 36 به‌صورت زیر است:

${I_1} = I\frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}$
${I_2} = I\frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}$

مثال: در مدار شکل 37 با استفاده از رابطه تقسیم جریان، جریان‌های ${I_1}$ و ${I_1}$ را به‌دست آورید.

${I_1} = I\frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} = 3 \times \frac{6}{{3 + 6}} = \frac{{18}}{9} = 2\left[ A \right]$
${I_2} = I\frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}} = 3 \times \frac{3}{{3 + 6}} = \frac{9}{9} = 1\left[ A \right]$

توان الکتریکی

توان مدار موازی از حاصل جمع توان همه مقاومت‌های مدار به‌دست می‌آید. در مدار الکتریکی شکل 38 که شامل n مقاومت موازی است داریم.

توان هر مقاومت برابر خواهد بود:

$P = R{I^2}$

توان مدار الکتریکی شکل 38 از مجموع توان هر مقاومت به‌دست می‌آید و آن را با ${P_{eq}}$ نشان می‌دهند.

${P_{eq}} = {R_1}I_1^2 + {R_2}I_2^2 + ... + {R_n}I_n^2$

توان مدار موازی نیز با توان مقاومت معادل مدار موازی برابر است یعنی: 

${P_{eq}} = {R_1}I_1^2 + {R_2}I_2^2 + ... + {R_n}I_n^2 = {R_{eq}}{I^2}$

مثال: توان مدار الکتریکی شکل 39 را به‌دست آورید.

حل: توان مدار از مجموع توان مقاومت‌های ${R_1}$ و ${R_2}$ و ${R_3}$ به‌دست می‌آید.

${P_{eq}} = {R_1}I_1^2 + {R_2}I_2^2 + {R_3}I_3^2$
${P_{eq}} = 3{\left( 4 \right)^2} + 6{\left( 2 \right)^2} + 12{\left( 1 \right)^2} = 84\left[ W \right]$

مثال: توان مدار الکتریکی شکل 40 را به‌دست آورید.

حل: مقاومت معادل مدار به‌دست می‌آید.

$\frac{1}{{{R_{eq}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}} = 2\left[ \Omega  \right]$

مقاومت Req جایگزین ${R_1}$ و ${R_2}$ خواهد شد و جریان مدار از رابطه مقاومت الکتریکی به‌دست می‌آید (شکل 41).

نسبت ولتاژ بر مقاومت = جریان

$I = \frac{V}{{{R_{eq}}}} = \frac{{12}}{2} = 6\left[ A \right]$

توان مقاومت معادل ${{R_{eq}}}$ با مجموع توان مقاومت‌های ${R_1}$ و ${R_2}$ برابر است.

${P_{eq}} = {R_{eq}}{I^2} = 2 \times {6^2} = 72\left[ W \right]$

اتصال سری - موازی

مدارهای سری - موازی مدارهایی هستند که در آنها ترکیبی از مقاومت‌های سری و موازی شده وجود دارد (شکل 42).

در مدار شکل 43 مقاومت ${R_1}$ و ${R_2}$ با هم موازی هستند و معادل آنها با ${R_{12}}$ نشان داده شده است (شکل 43).

مقاومت ${R_{12}}$ با ${R_3}$ سری شده است و مقاومت معادل آنها با ${R_{123}}$ نشان داده شده است (شکل 44).

مقاومت ${R_{123}}$ با ${R_4}$ موازی شده است و مقاومت معادل آنها با ${R_{eq}}$ نشان داده شده است (شکل 45).

مثال: مقاومت معادل مدار شکل 46 را به‌دست آورید و سپس جریان مدار را محاسبه کنید.

حل: مقاومت‌های ${R_1}$ و ${R_2}$ با هم موازی هستند و معادل آنها ${R_{12}}$ به‌دست می‌آید.

${R_{12}} = \frac{{{R_1} \times {R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} = \frac{{30 \times 60}}{{30 + 60}} = 20\left[ \Omega  \right]$

با جایگزینی ${R_{12}}$ به‌جای ${R_1}$ و ${R_2}$ شکل 47 به‌دست می‌آید.

مقاومت ${R_{12}}$ و ${R_3}$ و ${R_4}$ با هم سری هستند و معادل آنها ${R_{eq}}$ به‌دست می‌آید.

${R_{eq}} = {R_4} + {R_3} + {R_{12}}$
${R_{eq}} = 35 + 5 + 20 = 60\left[ \Omega  \right]$

با جایگزینی ${R_{eq}}$ به‌جای ${R_3}$ و ${R_4}$ و ${R_{12}}$ شکل 48 به‌دست می‌آید.

با رابطه مقاومت الکتریکی جریان مدار به‌دست می‌آید.

نسبت ولتاژ بر مقاومت = جریان

$I = \frac{V}{{{R_{eq}}}} = \frac{{12}}{{60}} = 0/2\left[ A \right]$

مثال: در مدار شکل 49 اگر ${V_{BC}} = 48V$ باشد جریان منبع را به‌دست آورید.

حل: ${V_{BC}}$ ولتاژ دو سر مقاومت‌های ${R_2}$ و ${R_3}$ می‌باشد. ${R_2}$ و ${R_3}$ با هم موازی هستند و با قانون اهم جریان شاخه‌های آنها به‌دست می‌آید.

نسبت ولتاژ بر مقاومت = جریان

${I_2} = \frac{{{V_{BC}}}}{{{R_2}}} = \frac{{48}}{{12}} = 4\left[ A \right]$
${I_3} = \frac{{{V_{BC}}}}{{{R_3}}} = \frac{{48}}{{24}} = 2\left[ A \right]$

با نوشتن KCL برای گره B جریان ${I_1}$ به‌دست می‌آید.

$KCL) + {I_1} - {I_2} - {I_3} = 0$
$ + {I_1} - 4 - 2 = 0$
${I_1} = 6\left[ A \right]$

با توجه به شکل 49 جریان منبع I با جریان عبوری از مقاومت سری ${R_1}$ برابر است لذا: 

$I = {I_1}$
$I = 6\left[ A \right]$

مثال: در مدار شکل 50، ${V_{BC}} = 30V$ می‌باشد. ولتاژ منبع چند ولت است؟

حل: از قانون اهم جریان مقاومت ${R_1}$ به‌دست می‌آید.

نسبت ولتاژ بر مقاومت = جریان

${I_1} = \frac{{{V_{BC}}}}{{{R_1}}} = \frac{{30}}{{10}} = 3\left[ A \right]$

از رابطه تقسیم جریان بین دو مقاومت موازی ${I_2}$ و ${I_3}$ به‌دست می‌آید.

${I_2} = {I_1}\frac{{{R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}} = 3 \times \frac{{40}}{{20 + 40}} = \frac{{120}}{{60}} = 2\left[ A \right]$
${I_3} = {I_1}\frac{{{R_2}}}{{{R_2} + {R_3}}} = 3 \times \frac{{20}}{{20 + 40}} = \frac{{60}}{{60}} = 1\left[ A \right]$

از قانون اهم ولتاژ دو سر مقاومت ${R_2}$ که ${V_{BC}}$ نشان داده می‌شود به‌دست می‌آید.

جریان × مقاومت = جریان

${V_{BC}} = {R_2}{I_2} = 20 \times 2 = 40\left[ V \right]$

از قانون ولتاژهای کیرشهف KVL ولتاژ منبع به‌دست می‌آید (شکل 51).

$KVL) - V + {R_1}{I_1} + {R_2}{I_2} = 0$
$KVL) - V + 10\left( 3 \right) + 20\left( 2 \right) = 0$
$KVL) - V + 30 + 40 = 0$
$V = 70\left[ V \right]$

مثال: جریان هر یک از شاخه‌های مدار شکل 52 را به‌دست آورید.

حل: مقاومت‌های ${R_3}$ و ${R_4}$ با هم موازی هستند. مقاومت معادل آنها ${R_{34}}$ به‌دست می‌آید.

${R_{34}}\frac{{{R_3}{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}} = \frac{{3 \times 6}}{{3 + 6}} = \frac{{18}}{9} = 2\left[ \Omega  \right]$

با جایگزینی ${R_{34}}$ به‌جای ${R_3}$ و ${R_4}$ شکل 53 به‌دست می‌آید.

مقاومت‌های ${R_2}$ و ${R_{34}}$ با هم سری هستند مقاومت معادل آنها ${R_{234}}‌$ به‌دست می‌آید.

${R_{234}} = {R_2} + {R_{34}} = 4 + 2 = 6\left[ \Omega  \right]$

با جایگزینی ${R_{234}}$ به‌جای ${R_{2}}$ و ${R_{34}}$ شکل 54 به‌دست می‌آید.

از قانون اهم جریان‌های ${I_1}$ و ${I_2}$ به‌دست می‌آید.

نسبت ولتاژ بر مقاومت = جریان

${I_1} = \frac{V}{{{R_1}}} = \frac{9}{9} = 1\left[ A \right]$
${I_2} = \frac{V}{{{R_{234}}}} = \frac{9}{6} = 1/5\left[ A \right]$

با نوشتن KCL برای گره A جریان منبع I به‌دست می‌آید.

$KCLA) + I - {I_1} - {I_2} = 0$
$ + I - 1 - 1/5 = 0$
$I = 2/5\left[ A \right]$

اکنون با به‌دست آمدن $I$ و ${I_1}$ و ${I_2}$ و با توجه به شکل 55 و استفاده از روابط تقسیم جریان بین دو مقاومت موازی ${R_{3}}$ و ${R_{4}}$ جریان ${I_3}$ و ${I_4}$ به‌دست می‌آید.

${I_3} = {I_2}\frac{{{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}} = 1/5 \times \frac{6}{{3 + 6}} = \frac{9}{9} = 1\left[ A \right]$
${I_4} = {I_2}\frac{{{R_3}}}{{{R_3} + {R_4}}} = 1/5 \times \frac{3}{{3 + 6}} = \frac{{4/5}}{9} = 0/5\left[ A \right]$